Espace Des Fonctions Continues Est Fermee Dans Lespace Des Fonction Continue Etborn©es

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En mathématiques, un espace fonctionnel est un ensemble d'applications d'une certaine forme d'un ensemble ${\displaystyle X}$ vers un ensemble ${\displaystyle Y.}$

Il est appelé « espace » car, selon les cas, il peut être un espace topologique, un espace vectoriel, ou les deux.

Domaines [modifier | modifier le code]

Les espaces fonctionnels apparaissent dans différents domaines des mathématiques :

• en théorie des ensembles, l'ensemble des parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$ peut être identifié avec l'ensemble des fonctions de ${\displaystyle X}$ à valeurs dans ${\displaystyle \{0,1\}}$ , noté ${\displaystyle \{0,1\}^{X}}$ . Plus généralement, l'ensemble des applications ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ est noté ${\displaystyle Y^{X}}$  ;
• en algèbre linéaire, l'ensemble des applications linéaires d'un espace vectoriel ${\displaystyle E}$ vers un autre ${\displaystyle F}$ sur un même corps commutatif est lui-même un espace vectoriel ;
• en analyse fonctionnelle, on a la même construction avec les applications linéaires continues, sur des espaces vectoriels topologiques, typiquement : des espaces de fonctions à valeurs réelles ou complexes, munis d'une certaine topologie ; les exemples les plus connus sont les espaces hilbertiens et les espaces de Banach ;
• en analyse fonctionnelle, l'ensemble des applications de l'ensemble des entiers naturels dans un ensemble quelconque ${\displaystyle X}$ est appelé espace de suites. Il est formé de l'ensemble des suites d'éléments de ${\displaystyle X}$  ;
• en topologie, on peut essayer de construire une topologie sur l'espace des fonctions continues d'un espace topologique X dans un autre Y, dont l'utilité dépend de la nature des espaces. Une topologie couramment employée est la topologie compacte-ouverte. Un autre topologie possible est la topologie produit sur l'espace des fonctions (pas nécessairement continues) ${\displaystyle Y^{X}}$ . Dans ce contexte, cette topologie est aussi désignée sous le nom de topologie de la convergence simple ;
• en topologie algébrique, l'étude de la théorie de l'homotopie repose essentiellement sur l'étude des invariants discrets des espaces de fonctions ;
• en théorie des processus stochastiques, le problème technique de base est comment construire une mesure de probabilité sur un espace de fonctions constitué de chemins de processus (fonctions du temps) ;
• en théorie des catégories, un espace fonctionnel est appelé un objet exponentiel. Il apparaît d'une part comme le bifoncteur Hom ; mais en tant que foncteur (simple), du type [X, -], il apparaît comme foncteur adjoint à un foncteur de type (-×X) sur des objets ;
• en lambda-calcul et en programmation fonctionnelle, des types d'espaces de fonctions sont employés pour exprimer l'idée de fonction d'ordre supérieur ;
• en théorie des domaines, l'idée fondamentale est de trouver des constructions à partir d'ordres partiels qui peuvent modéliser le lambda-calcul, en créant une catégorie cartésienne fermée.

Analyse fonctionnelle [modifier | modifier le code]

Espaces généraux [modifier | modifier le code]

• un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique sur R dont la topologie est définie par une famille de semi-normes (ou de façon équivalente possédant des bases de voisinages convexes) ;
• un espace de Fréchet est un espace localement convexe séparé dont la topologie est définie par une famille dénombrable de semi-normes (ou de façon équivalente : métrisable) et complet (pour n'importe laquelle des distances qui définissent sa topologie) ;
• un espace de Banach est un espace vectoriel normé complet ;
• un espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est associée à un produit scalaire.

Espaces particuliers [modifier | modifier le code]

Notes et références [modifier | modifier le code]

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article de Wikipédia en anglais intitulé « Function space » (voir la liste des auteurs) .

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Source: https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_fonctionnel